Question

雙曲線C的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．已知|

OA

|=2|

FA

|，且

BF

與

FA

同向．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）設AB被雙曲線C所截得的線段的長為4，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）作出示意圖如圖所示，設漸近線y=

b

a

x的傾斜角為α，可得∠FOA=α且∠OFA=90°+α，根據|

OA

|=2|

FA

|在△OFA中利用根據正弦定理，算出cosα=2sinα得tanα=

1

2

，從而算出a=2b，即可算出該雙曲線的離心率；
（2）根據題意設雙曲線的方程為x²-4y²=4b²，直線AB方程為y=-2（x-

5

b），聯解消去y得關于x的一元二次方程，由根與系數的關系與弦長公式列式，結合雙曲線被AB截得的弦長為4建立關于b的等式，解出b的值即可得到雙曲線C的方程．

解答：解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），設漸近線y=

b

a

x的傾斜角為α，則∠BOF=∠FOA=α，
由BF⊥OB，可得∠OFA=90°+α，
∵△OFA中，|

OA

|=2|

FA

|，
∴根據正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，得sin∠OFA=2sin∠FOA，
即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，即

b

a

=

1

2

，得a=2b，c=

a2+b2

=

5

b，
因此，雙曲線C的離心率e=

c

a

=

5 b

2b

=

5

2

；
（2）由（1）得a=2b，雙曲線的方程可化為x²-4y²=4b²…①
設l₁的斜率為

b

a

=

1

2

，可得直線AB的斜率k=-2，得直線AB的方程為y=-2（x-c），
即y=-2（x-

5

b），…②
將②代入①并化簡，得15x²-32

5

bx+84b²=0
設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
 x₁+x₂=

32 5

15

b，x₁x₂=

84b2

15

…③
∵AB被雙曲線所截得的線段長為l=

1 +(-2)2

•|x₁-x₂|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

 
∴將③式代入，并可得l=

5[( 32 5 15 b)2-4× 84b2 15 ]

=

4b

3

∵根據已知條件得l=4，∴

4b

3

=4，解得b=3，從而得到a=6．
因此，所求雙曲線的方程為

x2

36

-

y2

9

=1．

點評：本題給出雙曲線兩條漸近線滿足的條件，求雙曲線的離心率并在指定條件下求雙曲線的方程．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．