Question

已知雙曲線C的中心為原點，點F(

2

，0)是雙曲線C的一個焦點，過點F作漸近線的垂線l，垂足為M，直線l交y軸于點E，若

FM

=

ME

，則C的方程為______．

Answer 1

設雙曲線C的為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0．
漸近線方程是y=±

b

a

x
右焦點的坐標是（

3

，0）
現在假設由右焦點向一、三象限的漸近線引垂線
所以取方程y=

b

a

x
∵EF垂直于漸近線，
∴直線EF的斜率是-

a

b

，
該直線的方程是y=-

a

b

（x-

2

）
當x=0時，y=

2 a

b

，
∴E點的坐標（0，

2 a

b

）
∵

FM

=

ME

，
∴M的坐標（

2

2

，

2 a

2b

）
∵點M在漸近線上，∴

2 a

2b

=

2

2

•

b

a

，
整理得：b²=a²，
∵c=

2

，∴b²=a²=1．
∴雙曲線方程為x²-y²=1．
故答案為：x²-y²=1．