Question

已知雙曲線(xiàn)C的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)F(

2

，0)是雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)l，垂足為M，直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)E，若

FM

=

ME

，則C的方程為

x²-y²=1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出EF的方程，得到E．F的坐標(biāo)，再根據(jù)

FM

=

ME

，求出M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M在漸近線(xiàn)上得到a，b之間的關(guān)系，再由點(diǎn)F(

2

，0)是雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)，可求出答案．

解答：解：設(shè)雙曲線(xiàn)C的為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0．
漸近線(xiàn)方程是y=±

b

a

x
右焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（

3

，0）
現(xiàn)在假設(shè)由右焦點(diǎn)向一、三象限的漸近線(xiàn)引垂線(xiàn)
所以取方程y=

b

a

x
∵EF垂直于漸近線(xiàn)，
∴直線(xiàn)EF的斜率是-

a

b

，
該直線(xiàn)的方程是y=-

a

b

（x-

2

）
當(dāng)x=0時(shí)，y=

2 a

b

，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)（0，

2 a

b

）
∵

FM

=

ME

，
∴M的坐標(biāo)（

2

2

，

2 a

2b

）
∵點(diǎn)M在漸近線(xiàn)上，∴

2 a

2b

=

2

2

•

b

a

，
整理得：b²=a²，
∵c=

2

，∴b²=a²=1．
∴雙曲線(xiàn)方程為x²-y²=1．
故答案為：x²-y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，以及基本的運(yùn)算能力．