Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點M，N分別為PB，BC的中點，且PA⊥平面ABCD，AC與BD相交于點O．
（1）求證：MN⊥BD；
（2）若PA=1，求二面角M-AC-N的大小．

Answer 1

分析：（1）以AN，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由題設條件得出各點的坐標，求出兩直線MN與BD的方向向量，利用內積為0證明兩線垂直；
（2）PA=1，利用線面垂直的條件求出兩個平面的法向量，再由公式cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

求出兩平面夾角的余弦值，再由值求角．

解答：（1）證明：∵N是BC的中點，故AN⊥BC，AN⊥AD，以AN，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PA=a
則A(0，0，0)，B(

3

，-1，0)，N(

3

，0，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，a)
∴M(

3

2

，-

1

2

，

a

2

)…（1分）

MN

=(

3

2

，

1

2

，-

a

2

)，

BD

=(-

3

，3，0)，

MN

•

BD

=0，即MN⊥AC
（2）解：平面NAC的法向量為n₁=（0，0，1），設平面MAC的法向量為n₂=（x₀，y₀，z₀）
∵PA=a=1，
∴M(

3

2

，-

1

2

，

1

2

)，

AM

=(

3

2

，-

1

2

，

1

2

)，而

AC

=(

3

，1，0)
∴由

n2 • AC =0 n2 • AM =0

得

(x0，y0，z0)•( 3 ，1，0)=0 (x0，y0，z0)•( 3 2 ，- 1 2 1 2 )=0

∴平面MAC的法向量可取n₂=（-1，

3

，2

3

）  
設二面角M-AC-N的大小為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2 3

4

=

3

2

，
∴θ=30⁰

點評：本題考查空間向量求二面角，及用空間向量證明線線垂直，本題解題的關鍵是建立坐標系，把難度比較大的二面角的求法，線面角的求法等問題轉化成了數字的運算．大大降低了解題的難度．