Question

如圖，正三棱錐O-ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2．E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF作平面與側棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A₁、B₁、C₁，已知OA1=

3

2

．
（1）求證：B₁C₁⊥平面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）要證B₁C₁⊥平面OAH，直線證明直線垂直平面OAH內的兩條相交直線：AH、OA即可；
（2）作出二面角O-A₁B₁-C₁的平面角，然后求解即可；或者建立空間直角坐標系，利用法向量的數量積求解．

解答：解：（1）證明：依題設，EF是△ABC的中位線，所以EF∥BC，
則EF∥平面OBC，所以EF∥B₁C₁．
又H是EF的中點，所以AH⊥EF，則AH⊥B₁C₁．
因為OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，則OA⊥B₁C₁，
因此B₁C₁⊥面OAH．

（2）作ON⊥A₁B₁于N，連C₁N．因為OC₁⊥平面OA₁B₁，
根據三垂線定理知，C₁N⊥A₁B₁，∠ONC₁就是二面角O-A₁B₁-C₁的平面角．
作EM⊥OB₁于M，則EM∥OA，則M是OB的中點，則EM=OM=1．
設OB₁=x，由

OB1

MB1

=

OA1

EM

得，

x

x-1

=

3

2

，解得x=3，
在Rt△OA₁B₁中，A1B1=

OA12+OB12

=

3

2

5

，則，ON=

OA1•OB1

A1B1

=

3

5

．
所以tan∠ONC1=

OC1

ON

=

5

，故二面角O-A₁B₁-C₁為arctan

5

．

解法二：（1）以直線OA、OC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，
O-xyz則A(2，0，0)，B(0，0，2)，C(0，2，0)，E(1，0，1)，F(1，1，0)，H(1，

1

2

，

1

2

)
所以

AH

=(-1，

1

2

，

1

2

)，

OH

=(1，

1

2

，

1

2

)，

BC

=(0，2，-2)
所以

AH

•

BC

=0，

OH

•

BC

=0
所以BC⊥平面OAH，
由EF∥BC得B₁C₁∥BC，故：B₁C₁⊥平面OAH

（2）由已知A1(

3

2

，0，0)，設B₁（0，0，z）
則

A1E

=(-

1

2

，0，1)，

EB1

=(-1，0，z-1)
由

A1E

與

EB1

共線得：存在λ∈R有

A1E

=λ

EB1

得

- 1 2 =-λ 1=λ(z-1)

?z=3∴B1(0，0，3)
同理：C₁（0，3，0），∴

A1B1

=(-

3

2

，0，3)，

A1C1

=(-

3

2

，3，0)
設

n

1=(x1，y1，z1)是平面A₁B₁C₁的一個法向量，
則

- 3 2 x+3z=0 - 3 2 x+3y=0

令x=2，得y=z=1，∴

n1

=(2，1，1)．
又

n2

=(0，1，0)是平面OA₁B₁的一個法量∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

4+1+1

=

6

6

所以二面角的大小為arccos

6

6

（3）由（2）知，A1(

3

2

，0，0)，B（0，0，2），平面A₁B₁C₁的一個法向量為

n1

=(2，1，1)．
則

A1B

=(-

3

2

，0，2)．
則點B到平面A₁B₁C₁的距離為d=

| A1B • n1 |

|n1|

=

|-3+2|

6

=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．