Question

13．已知a+a^-1=$\frac{5}{2}$（a＞1）
（1）求下列各式的值：
（Ⅰ）a${\;}^{-\frac{1}{2}}$+a${\;}^{\frac{1}{2}}$；
（Ⅱ）a${\;}^{\frac{3}{2}}$+a${\;}^{-\frac{3}{2}}$；
（2）已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，求log_a$\frac{y}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出a的值，根據基本不等式的性質求值即可；（2）求出x=4y，根據對數的運算性質計算即可．

解答 解：（1）由a+a^-1=$\frac{5}{2}$，得：2a²-5a+2=0，
∵a＞1，∴a=2，
∴（Ⅰ）${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）${a}^{\frac{3}{2}}$+${a}^{-\frac{3}{2}}$=（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）（a-1+a^-1）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$（$\frac{5}{2}$-1）=$\frac{9}{4}$$\sqrt{2}$；
（2）由已知$\left\{\begin{array}{l}{x-2y＞0}\\{{（x-2y）}^{2}=xy}\end{array}\right.$，
解得：x=4y，
log_a$\frac{y}{x}$=log₂$\frac{1}{4}$=-2．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查對數的運算，是一道基礎題．