Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求證：

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

b

與

a

-k

b

的長度相等，求證：tanα•tanβ=-1（k為非零常數）．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）首先計算

a

+

b

與

a

-

b

的積，如果等于0，則互相垂直；
（2）利用長度相等即模相等，得到關于k，α，β的等量關系，求出α，β的關系，得到它們的正切值關系即可．

解答： 證明：（1）

a

+

b

）（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=cos²α+sin²α-cos²β-sin²β=1-1=0，
所以

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）因為k

a

+

b

與

a

-k

b

的長度相等，所以|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，
所以（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²，
整理得，4kcos（α-β）=0，k為非零常數，
所以α-β=kπ+

π

2

，
α=β+kπ+

π

2

，
tanα•tanβ=tan（β+kπ+

π

2

）•tanβ=-cotβtanβ=-1．

點評：本題考查了向量的運算以及三角函數的基本關系式的運用，屬于中檔題．