Question

設向量

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，定義一種向量積

a

?

b

=(a1b1，a2b2)，已知

m

=(2，

1

2

)，

n

=(

π

3

，0)，點P（x，y）在y=sinx的圖象上運動．Q是函數y=f（x）圖象上的點，且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O為坐標原點），則當x∈[-

π

6

，

2π

3

]時，函數y=f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：新定義,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：設P（x₀，y₀），則y₀=sinx₀，運用新定義，求得Q的軌跡方程，再由x的范圍，求得

1

2

x-

π

6

的范圍，再由正弦函數的單調性，即可得到值域．

解答： 解：設P（x₀，y₀），則y₀=sinx₀，
由新定義，可得，

OQ

=

m

?

OP

+

n

=（2x₀，

1

2

y₀）+（

π

3

，0）
=（2x₀+

π

3

，

1

2

y₀），
即有x=2x₀+

π

3

，且y=

1

2

y₀，
即有x₀=

1

2

x-

π

6

，y₀=2y，
則有y=

1

2

sin（

1

2

x-

π

6

），
由于x∈[-

π

6

，

2π

3

]，則有

1

2

x-

π

6

∈[-

π

4

，

π

6

]．
則有sin（

1

2

x-

π

6

）∈[-

2

2

，

1

2

]，
則f（x）∈[-

2

4

，

1

4

]．
故答案為：[-

2

4

，

1

4

]．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查向量的加法運算，考查三角函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．