Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（1，0），動點M滿足以MA為直徑的圓與y軸相切．過A作直線x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂線，垂足為B，則|MA|+|MB|的最小值為（ ）

A.2B.2C.D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據題意，設M（x，y），求出點軌跡方程y2＝4x，即可得M的軌跡是拋物線，其焦點為A（1，0），準線為x＝﹣1，過點M作MD與準線垂直，且交準線于點D，分析可得直線x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0經過定點（3，﹣2），設P（3，－2），由點性質可得B在以AP為直徑的圓上，由拋物線的定義可得又由|MA|＝|MD|，則|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，通過（為中點，圓心）結合圖形分析可得答案．

根據題意，設M（x，y），以MA為直徑的圓的圓心為（，），

又由動點M滿足以MA為直徑的圓與y軸相切，則有（）2＝（1）2+（）2，

變形可得：y2＝4x，

則M的軌跡是拋物線，其焦點為A（1，0），準線為x＝﹣1，

過點M作MD與準線垂直，且交準線于點D，

設直線l為x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0，變形可得m（y+2）＝y﹣x+5，

∴可得直線l經過定點（3，﹣2），

設P（3，－2），設AP的中點為C，則C的坐標為（2，﹣1），|CP|，

若AB⊥l，則B在以AP為直徑的圓上，該圓的方程為，

又由|MA|＝|MD|，則|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，

則當C、M、D三點共線時，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值為圓上的點到D的最小值，

此時|MA|+|MB|min＝|CD|﹣r＝3，

故選：D．