Question

定義在R上的函數f（x）滿足，對任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（2）=4，則f（x）在[-2012，-100]上的最大值為

-200

．

Answer 1

分析：通過賦值法，可證得y=f（x）為奇函數，且在R上單調遞增，f（-2n）=nf（-2），從而可求得f（x）在[-2012，-100]上的最大值．

解答：解：令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
令y=-x得f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）為奇函數；
∵當x＞0時，f（x）＞0，
∴當x₁＜x₂時，x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴y=f（x）在R上單調遞增．
∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值為f（-100）．
∵f（2）=4，
∴f（-2）=-4，
∴f（-2-2）=f（-2）+f（-2）=2f（-2）=-4，即f（-4）=-8，
同理可得f（-6）=3f（-2）=-12
…，
f（-2n）=nf（-2），
∴f（-100）=50f（-2）=-200．
∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值為-200．
故答案為：-200．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法的應用，考查函數奇偶性與單調性的判定，考查轉化思想與推理運算能力，屬于中檔題．