Question

已知函數f(x)=

1

2

x2+3lnx+(a-6)x在[3，+∞）上是增函數，
（1）求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設g(x)=|ex-a|+

1

2

a2，x∈[0，ln3]，求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）d的導函數，令導函數大于等于0在[3，+∞）上恒成立，分離出a，構造新函數，通過新函數的導數求出函數的最大值，令大于等于最大值即得到a的范圍．
（2）通過換元將函數轉化為關于t的一次函數形式，通過對a的討論將絕對值符號去掉，利用一次函數的單調性求出函數的最值．

解答：解：（1）f’（x）=x+

3

x

+a-6
因為f（x）在[3，+∞）上是增函數
所以x+

3

x

+a-6≥0在[3，+∞）上恒成立
即a≥6-x-

3

x

在[3，+∞）上恒成立
構造一個新函數F（x）=6-x-

3

x

  x∈[3，+∞）
∵F′(x)=-1+

3

x2

＜0
∴F（x）在[3，+∞）是減函數
所以當x=3時，函數F（x）有最大值2
所以a≥2
（2）令t=e^x，R（t）=|t-a|+

1

2

a2 t∈[1.3]
當a≥2且a≤3時，R(t)=

-t+a+ 1 2 a2 (1≤t＜a) t-a+ 1 2 a2(a＜t≤3)

∴R（t）最小為R（a）=

1

2

a2
當a＞3，R（t）=-t+a+

1

2

a2
R（t）最小為R（3）=-3+a+

1

2

a2
總之，函數的最小值為：當2≤a＜3時，最小值為

1

2

a2；當a≥3時，函數的最小值為-3+a+

1

2

a2

點評：解決函數的單調性已知求參數的范圍問題常轉化為導函數大于等于0或小于等于0恒成立，轉化為不等式恒成立問題；解決不等式恒成立問題一般是將參數分離出來，轉化為求函數的最值．