Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD
（1）證明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明PA⊥BD，只需證明BD⊥平面PAD，即需證明BD⊥AD，BD⊥PD；
（2）過D作DE⊥PB與E，連接AE，則PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA為二面角A-PB-D的平面角．RT△ADE中求解即可．

解答：（1）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得=BD=

3

從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD
∴PA⊥BD
（2）由（1）得BD⊥PD，AD⊥PD，∴AD⊥面PDB．AD⊥PB
過D作DE⊥PB與E，連接AE，則PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA為二面角A-PB-D的平面角．
在RT△PDB中，DE=

PD×BD

PB

=

3

2

RT△ADE中，cos∠DEA=

DE

AE

=

DE

AD2+DE2

=

3 2

7 2

=

21

7

二面角A-PB-D的余弦值為

21

7

點評：本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，空間角的計算，考查轉(zhuǎn)化計算、空間想象、推理論證等能力．