Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2，BC=1，E為PD的中點．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求PA與平面ACE所成角的正弦值的大小；
（3）求二面角E-AC-D的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）要證CE∥平面PAB，只要證明CE平行于平面PAB內的一條直線即可，由E為PD的中點，可聯想找PA的中點F，連結EF、BF后，證明BCEF是平行四邊形即可證得答案；
（2）分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面AEC的一個法向量，利用向量

AP

與其法向量所成角的余弦值求解PA與平面ACE所成角的正弦值的大小；
（3）分別求出二面角E-AC-D的兩個半平面所在平面的法向量，利用法向量夾角的大小求解二面角E-AC-D的余弦值的大小．

解答：（1）證明：如圖，
取PA的中點F，連結FE、FB，則FE∥BC，且FE=

1

2

AD=BC，
∴BCEF是平行四邊形，∴CE∥BF，而BF?平面PAB，∴CE∥平面PAB．
（2）解：分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
由PA=AB=AD=2，BC=1，E為PD的中點，得
A（0，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，1，1），P（0，0，2）．
∴

AC

=(2，1，0)，

AE

=(0，1，1)，

AP

=(0，0，2)．
設平面EAC的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
由

m • AC =0 m • AE =0

，得

2x+y=0 y+z=0

，取x=1，得y=-2，z=2．
∴

m

=(1，-2，2)．
設PA與平面ACE所成角為α，
則sinα=|

m • AP

| m |•| AP |

|=|

2×2

3×2

|=

2

3

．
∴PA與平面ACE所成角的正弦值為arcsin

2

3

；
（3）解：平面DAC的一個法向量為

n

=(0，0，1)，
又平面EAC的一個法向量為

m

=(1，-2，2)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

1×3

=

2

3

．
∴二面角E-AC-D的余弦值為arccos

2

3

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求線面角和面面角，解答的關鍵是建立正確的空間右手系，屬中檔題．