Question

如圖，在海岸線一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數，的圖像，圖像的最高點為．邊界的中間部分為長千米的直線段，且．游樂場的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧．

（1）求曲線段的函數表達式；

（2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現準備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路長；

（3）如圖，在扇形區域內建一個平行四邊形休閑區，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區面積的最大值及此時的值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）時，平行四邊形面積最大值為

【解析】

試題分析：（1）求函數的解析式時，比較容易得出，困難的是確定待定系數的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；確定的值，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令（或），即可求出；二是代入點的坐標，利用一些已知點坐標代入解析式，再結合圖形解出，若對的符號或對的范圍有要求，則可利用誘導公式進行變換使其符合要求；（2）運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用；重視三角函數的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等，適當選擇公式進行變形；（3）把形如化為，可進一步研究函數的周期、單調性、最值和對稱性.

試題解析：【解析】
（1）由已知條件，得 1分[

又∵ 2分

又∵當時，有 2分

∴ 曲線段的解析式為． 1分

（2）由得

2分

又 2分

1分

∴ 景觀路長為千米 1分

（3）如圖， 1分

作軸于點，在中， 1分

在中， 1分

∴ 1分

1分

2分

當時，即時，平行四邊形面積最大值為 1分

考點：1、根據函數圖象求函數解析式；2、三角函數化簡；3、求三角函數的最值.