Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx–2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1).當m變化時，解答下列問題：

（1）能否出現AC⊥BC的情況？說明理由；

（2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設，由AC⊥BC得；由根與系數的關系得，矛盾，所以不存在；（2）求出過A，B，C三點的圓的圓心坐標和半徑，即可得圓的方程，再利用垂徑定理求弦長.

試題解析：（1）不能出現AC⊥BC的情況，理由如下：

設, ,則滿足，所以.

又C的坐標為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現AC⊥BC的情況.

（2）BC的中點坐標為（），可得BC的中垂線方程為.

由（1）可得，所以AB的中垂線方程為.

聯立又，可得

所以過A、B、C三點的圓的圓心坐標為（），半徑

故圓在y軸上截得的弦長為，即過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.