Question

若無窮數列滿足：①對任意，；②存在常數，對任意，，則稱數列為“數列”.
（Ⅰ）若數列的通項為，證明：數列為“數列”；
（Ⅱ）若數列的各項均為正整數，且數列為“數列”，證明：對任意，；
（Ⅲ）若數列的各項均為正整數，且數列為“數列”，證明：存在，數列為等差數列.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）用作差法證，用單調性證。（Ⅱ）用反證法證明。即假設存在正整數，使得。根據和結合放縮法推倒論證得出與已知各項均為正整數相矛盾，則說明假設不成立即原命題成立。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，需分和兩種情況討論，結合已知推理論證，根據等差的定義可證得存在 ，數列為等差數列.本題的關鍵是當可變形得，再用累加法表示，即，根據進行推理論證。
試題解析：（Ⅰ）證明：由，可得，，
所以，
所以對任意，．
又數列為遞減數列，所以對任意，．
所以數列為“數列”．             5分
（Ⅱ）證明：假設存在正整數，使得．
由數列的各項均為正整數，可得．
由，可得．
且．
同理，
依此類推，可得，對任意，有．
因為為正整數，設，則.
在中，設，則．
與數列的各項均為正整數矛盾．
所以，對任意，.             10分
（Ⅲ）因為數列為“數列”，
所以，存在常數，對任意，．
設．
由（Ⅱ）可知，對任意，，
則．
若，則；若，則．
而時，有．
所以，，，，中最多有個大于或等于，
否則與矛盾．
所以，存在，對任意的，有．
所以，對任意，．
所以，存在，數列為等差數列.            14分