Question

設(shè)S是滿足下列兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合：①1∉S；②若a∈S，則

1

1-a

∈S．試解答下列問題：
（1）若2∈S，則S中必還有其他兩個(gè)元素，求出這兩個(gè)元素；
（2）求證：若a∈S，則1-

1

a

∈S；
（3）在集合S中，元素的個(gè)數(shù)能否只有1個(gè)？請說明理由．

Answer 1

分析：利用兩個(gè)條件：①1∉S；②若a∈S，則

1

1-a

∈S，分別進(jìn)行推理求解．

解答：解：（1）若2∈S，則

1

1-2

=-1∈S，則

1

1-(-1)

=

1

2

∈S，所以

1

1- 1 2

=2∈S，此時(shí)元素循環(huán)，
所以S中必還有其他兩個(gè)元素，這兩個(gè)元素為-1和

1

2

．
（2）若a∈S，

1

1-a

∈S，則

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈S，所以（2）成立．
（3）不能，若能的話則有

1

1-a

=a，即a²-a+1=0，此時(shí)判別式△=1-4=-3＜0對應(yīng)方程無解，所以a不存在．

點(diǎn)評：本題主要考查集合元素和集合關(guān)系的判斷，考查學(xué)生的推理和分析能力．