Question

求下列函數的定義域、值域和單調區間：

⑴；⑵（且）.

Answer 1

解：⑴①原函數的定義域是；②由，得，

，∴，∴，∴原函數的值域是；

③∵，

又當，

從而；

當，

從而。

⑵①定義域為，即：；

②令，

由二次函數的圖像可知（圖像略），故原函數的值域為；

③當時，由上單調遞增，可得：原函數的單調性與u的單調性一致，∴原函數的單調增區間為（3，+∞），單調減區間為（－∞，2）；

      當時，由上單調遞減，可得：原函數的單調性與u的單調性相反，∴原函數的單調增區間為（－∞，2），單調減區間為（3，+∞）。

說明：①求復合函數的值域通過換元可轉換為求簡單函數的值域。

②求復合函數的單調區間或最值，若為增函數，則與增減性相同；若為減函數，則與的增減性相反；這一結論非常有用，稱為“外增內同，外減內反”；對數函數的單調性要注意其定義域。