Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，焦點到漸近線的距離為2

3

．過P（0，-2）的直線l與雙曲線C交于不同的兩點M、N．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）當

PM

=2

PN

時，求直線l的方程；
（Ⅲ）設t=

OM

•

ON

（O為坐標原點），求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據雙曲線的焦點F到漸近線的距離是2

3

，得

bc

a2+b2

=2

3

，根據雙曲線C的離心率

c

a

=2，再結合雙曲線中a，b，c的關系，解出a，b，就求出雙曲線C的方程．
（II）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設出直線l的方程，與雙曲線方程聯立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據

PM

=2

PN

得到一個關于k的等式，解出k，即可求出直線l的方程．
（III）利用向量的數量積公式得出t關于k的函數表達式，最后利用函數的值域求出t的取值范圍．

解答：解：（I）由對稱性，不妨設一漸近線為y=

b

a

x，右焦點為F（c，0），
則

bc

a2+b2

=2

3

，又

c

a

=2，c²=a²+b²，
解得a²=4，b²=12，所以雙曲線C的方程是

x

4

-

y2

12

=1；
（II）設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx-2，設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

PM

=2

PN

，得x₁=2x₂．
由

y=kx-2 x 4 - y2 12 =1

得：（3-k²）x²+4kx-16=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點M，N，
∴

x1+x2= 4k k2-3 =3x2 x1x2= 16 k2-3 =2 x 2 2

，消去x₂，解得k=±

3 21

7

∴直線l的方程為y=±

3 21

7

x-2．
（Ⅲ）t=

OM

•

ON

=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4
=

8k2+16

k2-3

+4=12+

40

k2-3

．（10分）
∵0≤k²＜4且k²≠3，得 t＞52或 t≤-

4

3

．（12分）

點評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及根據直線與雙曲線位置求直線方程，屬于圓錐曲線的常規題．