Question

8．設函數f（x）=e^x（3x-1）-ax+a，其中a＜1，若有且只有一個整數x₀使得f（x₀）≤0，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{2}{e}，\frac{3}{4}）$
• B． $[\frac{2}{e}，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{2}{e}，1）$
• D． $[\frac{2}{e}，1）$

Answer 1

分析 設g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，對g（x）求導，將問題轉化為存在唯一的整數x₀使得g（x₀）在直線h（x）=ax-a的下方，求導數可得函數的極值，解g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a≥0，求得a的取值范圍．

解答 解：設g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，
則g′（x）=e^x（3x+2），
∴x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$），g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
x∈（-$\frac{2}{3}$，+∞），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
∴x=-$\frac{2}{3}$，取最小值-3e-$\frac{2}{3}$，
∴g（0）=-1＜-a=h（0），
g（1）-h（1）=2e＞0，
直線h（x）=ax-a恒過定點（1，0）且斜率為a，
∴g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a＞0，
∴a＞$\frac{2}{e}$，
a＜1，
∴a的取值范圍（$\frac{2}{e}$，1）．
故選：C．

點評 本題考查求函數的導數，利用導數判斷函數的單調性和極值問題，涉及轉化的思想，屬于中檔題．