Question

求函數y=

3x+6

+

8-x

的值域．

Answer 1

分析：先設u=

3x+6

，v=

8-x

，將條件轉化為：則u²+3v²=30．再利用三角換元：令u=

30

cosθ，v=

10

sinθ，將問題轉化為求三角函數y=2

10

sin（θ+

π

3

），的值域問題解決即可．

解答：解：設u=

3x+6

，v=

8-x

，
則u²+3v²=30．
令u=

30

cosθ，v=

10

sinθ，
∵u、v≥0，
∴0≤θ≤

π

2

，
∴y=2

10

sin（θ+

π

3

），
∴

10

≤y≤2

10

．
函數y=

3x+6

+

8-x

的值域[

10

，2

10

]．

點評：本題考查求函數值域的方法，體現轉化的數學思想．