Question

【題目】已知函數 ，常數a＞0．
（1）設mn＞0，證明：函數f（x）在[m，n]上單調遞增；
（2）設0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2， ，

因為x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），

故f（x）在[m，n]上單調遞增

（2）解：因為f（x）在[m，n]上單調遞增，

f（x）的定義域、值域都是[m，n]f（m）=m，f（n）=n，

即m，n是方程 的兩個不等的正根a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有兩個不等的正根．

所以△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，

【解析】（1）根據函數的單調性的定義，進行設值著差，即可證明出結論，（2）由于f（x）的定義域和值域都是[m，n]，且f（x）單調遞增，故一定有f（m）=m，f（n）=n，不難得出m，n是方程 的兩個不等的正根,列出關系式可得a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．