Question

（2012•黃州區模擬）已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，若雙曲線的離心率為2，則橢圓離心率為（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：先根據雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓的焦點與頂點，確定雙曲線的頂點與焦點，由雙曲線的離心率求出橢圓的離心率．

解答：解：由題意可設雙曲線的方程為：

x2

m2

-

y2

n2

=1，(m＞0，n＞0)
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點（±c，0），頂點（±a，0），c²=a²-b²
由題意可得，雙曲線的頂點為（±c，0），焦點為（±a，0）
∴m=c，n²+m²=a²
∵雙曲線的離心率e=

m2+n2

m

=2
∴n=

3

m
∴b=n=

3

m，c=m，a=2m
橢圓的離心率e=

1

2

故選B

點評：本題以橢圓方程為載體，考查雙曲線的幾何性質，考查橢圓的離心率，正確運用幾何量的關系是關鍵．