Question

已知圓方程為：

（1）直線過點且與圓交于兩點,若,求直線的方程；

（2）過圓上一動點作平行于軸的直線，設與軸交點為，若

向量，求動點的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）所求直線方程為或

（2）點的軌跡方程是 

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：直線的點斜式方程，圓的標準方程，勾股定理，垂徑定理，以及點到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．

（1）分兩種情況考慮：當直線l的斜率不存在時，根據直線l過P點，由P的坐標得出直線l的方程為x=1，經驗證滿足題意；當直線l的斜率存在時，設出斜率為k，由P及k表示出直線l的方程，根據圓的方程找出半徑r=2及圓心坐標，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，進而由弦長的一半，圓的半徑r及弦心距d，利用勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此時直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

（2）設（），，則，由，得，代入已知點的軌跡方程中得到結論。