Question

已知圓x²+y²-2ax-6ay+10a²-4a=0（0＜a≤4）的圓心為C，直線L：y=x+m．
（1）若a=2，求直線L被圓C所截得的弦長|AB|的最大值；
（2）若m=2，求直線L被圓C所截得的弦長|AB|的最大值；
（3）若直線L是圓心C下方的切線，當a變化時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先把圓C的方程化為標準方程，求出圓心C，半徑r
（1）若a=2，則可求C，r，由弦AB過圓心時最長可求|AB|_max=2r，即可求
（2）先求出圓心C（a，3a）到直線x-y+2=0的距離d，若使弦長|AB|的最大值，則先表示出弦AB，然后根據二次函數的性質可求
（3）先求出圓心C（a，3a）到直線x-y+m=0的距離d，由直線L是圓心C的切線，可知d=r，從而可求m，a的關系，由a的范圍可求m的范圍

解答：解：圓C的方程可化為（x-a）²+（y-3a）²=4a
∴圓心C（a，3a0，半徑r=2

a

（1）若a=2，則C（2，6），r=2

2

∵弦AB過圓心時最長
∴|AB|_max=4

2

（2）若m=2，則圓心C（a，3a）到直線x-y+2=0的距離
d=

|-2a+2|

2

=

2

|a-1|，r=2

a

直線與圓相交，∴d＜r，∴a²-4a+1＜0且0＜a≤4，
∴a∈(2-

3

，2+

3

)
又|AB|=2

r2-d2

=2

-2a2+8a-2

=2

-2(a-2)2+6

，
∴當a=2時，|AB|_max=2

6

，
（3）圓心C（a，3a）到直線x-y+m=0的距離d=

|-2a+m|

2

∵直線L是圓心C的切線，
∴d=r，即

|m-2a|

2

=2

a

，|m-2a|=2

2a

∴m=2a±2

2a

∵直線L是圓心C下方，
∴m=2a-2

2a

∵a∈（0，4]，
∴當a=時，m_min=-1；  當a=4時，m_max=8-4

2

，
故實數m的取值范圍是[-1，8-4

2

]

點評：本題主要考查了圓的性質的應用，直線與圓相交關系的應用及點到直線距離公式的簡單應用，屬于圓的知識的綜合應用