Question

【題目】設，若無窮數列滿足：對所有整數，都成立，則稱“-折疊數列”.

（1）求所有的實數，使得通項公式為的數列是-折疊數列；

（2）給定常數，是否存在數列，使得對所有，都是-折疊數列，且的各項中恰有個不同的值？證明你的結論；

（3）設遞增數列滿足.已知如果對所有，都是-折疊數列，則的各項中至多只有個不同的值，證明：.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）存在，證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據題中所給定義，列方程討論的取值可得出結果；

（2）只需列舉出例子即可證明，結合定義，數列的圖象有無數條對稱軸，可聯想三角函數；

（3）結合（2）的結論利用數學歸納法即可證明.

（1）要使通項公式為的數列是“-折疊數列”，只需.

①當時，，顯然成立；

②當時，上式可化為，則，，.

綜上所述，或；

（2）對于給定的，都是“-折疊數列”，故數列的圖象有多條對稱軸，其中都是數列的圖象的對稱軸，

設，由，得對稱軸為，且數列的周期為，

滿足給定常數，使得對所有的，都是“-折疊數列”，

是周期數列，且周期為，在這個周期內，為對稱軸，

故對應的項的個數與對應的項的個數相等，

，，在上單調遞增，，

故各項中共有個不同的取值.

綜上所述，給定常數，存在數列，使得對所有，都是“-折疊數列”，且的各項中恰有個不同的取值；

（3）由（2）知，且，即.

故要證原不等式成立，只需證，只需證.

①當時，不等式顯然成立；

②假設當時，有成立，

則當時，，

故當時，不等式成立.

綜上所述，.