Question

如圖，在邊長為3的等邊三角形ABC中，E，F，P分別為AB，AC，BC邊上的點，且滿足AE=FC=CP=1，將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，如圖，使平面A₁EF⊥平面FEBP，連結A₁B，A₁P，
（1）求證：A₁E⊥PF；
（2）若Q為A₁B中點，求證：PQ∥平面A₁EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用余弦定理即可得出EF²=3，利用勾股定理的逆定理可得EF⊥AE，即A₁E⊥EF．再利用面面垂直的性質定理就看得出A₁E⊥平面FEBP．從而證明結論；
（2）取A₁E的中點M，連接QM，MF，利用三角形中位線定理即可證明．先判斷△CFP是等邊三角形．即可得出．得到四邊形PQMF為平行四邊形，可得PQ∥MF．再利用線面平行的判定定理即可證明．
解答：證明：（1）在△AEF中，∵AE=1，AF=2，∠EAF=60°，
由余弦定理可得EF²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
∴AE²+EF²=AF²，∴EF⊥AE．即A₁E⊥EF．
又平面A₁EF⊥平面FEBP，∴A₁E⊥平面FEBP．
∴A₁E⊥PF．
（2）取A₁E的中點M，連接QM，MF．
又∵Q為A₁B的中點，∴．
∵FC=CP=1，∠C=60°．
∴△CFP是等邊三角形．
∴∠CPF=∠B=60°，
∴PF∥BE.．
∴QMPF．
∴四邊形PQMF為平行四邊形，
∴PQ∥MF．
∵MF?平面A₁EF，PQ?平面A₁EF．
∴PQ∥平面A₁EF．
點評：熟練掌握余弦定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性質定理、三角形中位線定理、等邊三角形的判定與性質、平行四邊形判定與性質、線面平行的判定定理是解題的關鍵．