Question

如圖1,在邊長為3的等邊三角形ABC中,E,F,P分別為AB,AC,BC邊上的點,且滿足AE=FC=CP=1,將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置,如圖2,使平面A₁EF⊥平面FEBP,連接A₁B,A₁P,

(1)求證:A₁E⊥PF.

(2)若Q為A₁B中點,求證:PQ∥平面A₁EF.

Answer 1

【證明】(1)在△AEF中,因為AE=1,AF=2,∠A=60°,

由余弦定理得EF==,

所以AE²+EF²=AF²=4,所以EF⊥AE.

所以在題干圖2中有A₁E⊥EF.

因為平面A₁EF⊥平面FEBP,平面A₁EF∩平面FEBP=EF,A₁E⊂平面A₁EF,

所以A₁E⊥平面FEBP.所以A₁E⊥PF.

(2)在題干圖1△ABC中,因為==,設BE的中點為H,連接PH,QH,

所以PF∥BE,且PF=EH,所以四邊形PFEH為平行四邊形,所以PH∥EF,

PH⊄平面A₁EF,EF⊂平面A₁EF,所以PH∥平面A₁EF,

又QH∥A₁E,QH⊄平面A₁EF,A₁E⊂平面A₁EF,所以QH∥平面A₁EF.

QH∩PH=H,所以平面A₁EF∥平面QHP,

PQ⊂平面QHP,所以PQ∥平面A₁EF.