Question

如圖，在邊長為1的等邊三角形中，分別是邊上的點，，是的中點，與交于點，將沿折起，得到如圖所示的三棱錐，其中．

(1) 證明：//平面；

(2) 證明：平面；

(3) 當時，求三棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析 (2) 見解析(3)

【解析】（1）在等邊三角形中， 

,在折疊后的三棱錐中

也成立， ,平面，

平面，平面；

（2）在等邊三角形中，是的中點，所以①，.

 在三棱錐中，，②

；

（3）由（1）可知，結合（2）可得.

解決折疊問題，需注意一下兩點：1.一定要關注“變量”和“不變量”在證明和計算中的應用:折疊時位于棱同側的位置關系和數量關系不變;位于棱兩側的位置關系與數量關系變；2.折前折后的圖形結合起來使用.本題第一問關鍵是利用相似比在折疊完以后沒有變化，達到證明目的；第二問中借助勾股定理和不變的垂直關系，借助線面垂直的判斷定理證明；第三問利用體積轉化，充分借助第一問的平行關系和第二問的垂直關系進行求解.

【考點定位】線面平行于垂直、幾何體的體積問題.