Question

如圖，在邊長為1的等邊△ABC中，D、E分別為邊AB、AC上的點，若A關于直線DE的對稱點A₁恰好在線段BC上，

（1）①設A₁B＝x，用x表示AD；②設∠A₁AB＝θ∈[0º,60º]，用θ表示AD

（2）求AD長度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) y＝ (0≤x≤1)， AD＝·＝  θ∈[0º,60º]

(2) AD長度的最小值為2－3 當且僅當時取得最小值.

【解析】

試題分析：(1)設A₁B＝x，AD＝y，在△A₁BD中，BD＝1－y，A₁D＝AD＝y，有余弦定理得

y²＝(1－y)²＋x²－2x(1－y)cos60º＝(1－y)²＋x²－x＋xy∴x²－x＋xy－2y＋1＝0

y＝ (0≤x≤1)，

設∠A₁AB＝θ∈[0º,60º]，則在△A₁BA中，由正弦定理得：

＝＝ ∴AA₁＝，

∴AD＝·＝     θ∈[0º,60º]

(2)y＝ (0≤x≤1)，令t＝2－x∈[1,2]∴y＝＝t＋－3≥2－3

當且僅當t＝，即x＝2－時等號成立．AD長度的最小值為2－3．

AD＝·＝    θ∈[0º,60º]

∵4sin(θ＋60º)·cosθ＝2sinθ·cosθ＋2cos²θ＝sin2θ＋ (1＋cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ＋＝2sin(2θ＋60º)＋

∵θ∈[0º,60º]∴2θ＋60º∈[60º,180º]∴sin(2θ＋60º)∈[0,1]

∴4sin(θ＋60º)·cosθ∈[,2＋]∴AD≥＝ (2－)＝2－3∴AD長度的最小值為2－3 當且僅當時取得最小值.

考點：本題考查了三角函數的性質及正余弦定理的運用

點評：本小題主要考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，同時考查利用三角公式進行恒等變形的技能和運算能力