Question

設指數函數y=a^x與對數函數y=log_ax（a＞0，a≠1）的圖象分別為C₁，C₂，點M在曲線C₁上，線段OM（O為坐標原點）交曲線C₁于另一點N．若曲線C₂上存在一點P，使點P的橫坐標與點M的縱坐標相等，點P的縱坐標是點N的橫坐標的2倍，則點P的坐標是（　　）

A．（4，4）

B．（a⁴，4）

C．（4，log_a4）

D．（log_a4，2）

Answer 1

分析：設P（m，log_am），可設M（α，m），N（

1

2

log_am，β），根據曲線C₁、C₂的表達式，解出α=log_am，β=

m

，得出M、N坐標關于a、m的表達形式，最后根據M、N、O三點共線，利用斜率相等建立關系式可得出m=4，從而得出點P的坐標．

解答：解：設P（m，log_am），則可設M（α，m），N（

1

2

log_am，β）
∵M（α，m），N（

1

2

log_am，β）在指數函數y=a^x的圖象上
∴m=a^α且β=a

1

2

logam，解之得α=log_am，β=

m

由此可得M（log_am，m），N（

1

2

log_am，

m

）
∵M、N、O三點共線
∴k_OM=K_ON，即

m

logam

=

m

1 2 logam

，解之得m=4（舍去0）
因此點P的坐標為（4，log_am）
故選：C

點評：本題給出指數函數和對數函數圖象上點坐標之間的關系，求其中一個點的坐標，著重考查了函數的圖象與性質、指數和對數函數圖象與性質的綜合應用等知識，屬于中檔題．