Question

設：P：指數函數y=a^x在R內單調遞減； Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果P∨Q為真，￢Q也為真，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：當0＜a＜1時，指數函數y=a^x在R內單調遞減，曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點等價于（2a-3）²-4＞0，由此利用復合命題的關系能求出a的取值范圍．
解答：解：∵當0＜a＜1時，指數函數y=a^x在R內單調遞減，
當a＞1時，指數函數y=a^x在R內單調遞增，
∴當命題P是真命題時，0＜a＜1；
當命題P是假命題時，a＞1．
∵曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點等價于（2a-3）²-4＞0，
解得或．
∴當命題Q是真命題時，則或；
當命題Q是假命題時，．
∵P∨Q為真，￢Q也為真，
∴命題P是真命題，即0＜a＜1；
命題Q是假命題，即，
因此，a∈（0，1）∩[，]=[，1），
即，
故a的取值范圍是[，1）．
點評：本題考查復合命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意指數函數的性質的靈活運用．