Question

設：P：指數函數y=a^x在R內單調遞減； Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果P∨Q為真，￢Q也為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當0＜a＜1時，指數函數y=a^x在R內單調遞減，曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點等價于（2a-3）²-4＞0，由此利用復合命題的關系能求出a的取值范圍．

解答：解：∵當0＜a＜1時，指數函數y=a^x在R內單調遞減，
當a＞1時，指數函數y=a^x在R內單調遞增，
∴當命題P是真命題時，0＜a＜1；
當命題P是假命題時，a＞1．
∵曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點等價于（2a-3）²-4＞0，
解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∴當命題Q是真命題時，則a＜

1

2

或a＞

5

2

；
當命題Q是假命題時，

1

2

≤a≤

5

2

．
∵P∨Q為真，￢Q也為真，
∴命題P是真命題，即0＜a＜1；
命題Q是假命題，即

1

2

≤a≤

5

2

，
因此，a∈（0，1）∩[

1

2

，

5

2

]=[

1

2

，1），
即a∈[

1

2

，1)，
故a的取值范圍是[

1

2

，1）．

點評：本題考查復合命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意指數函數的性質的靈活運用．