Question

已知函數

(1)若b＝2且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

(2)設函數f(x)的圖象C₁與函數g(x)的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，是否存在點R，使C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行？如果存在，請求出R的橫坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)b＝2時， 　　則 　　因為函數h(x)存在單調遞減區間，所以＜0有解． 　　又因為x＞0時，則的解 　　①當a＞0時，為開口向上的拋物線，＞0總有x＞0有解； 　　②當a＜0時，為開口向下的拋物線，而＞0總有x＞0的解； 　　則△＝4＋4a＞0，且方程＝0至少有一這正根，此時，－1＜a＜0 　　綜上所述，a的取值范圍為(－1，0)∪(0，＋∞) 　　(2)證法一設點P、Q的坐標是 　　則點M、N的橫坐標為 　　C1點在M處的切線斜率為 　　C2點N處的切線斜率為 　　假設C1點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1＝k2 　　即則 　　 　　．設，則① 　　令則 　　因為t＞1時，，所以r(t)在[1，＋∞]上單調遞增．故 　　則．這與①矛盾，假設不成立． 　　故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行． 　　證法二：同證法一得． 　　，所以 　　令，得② 　　令則 　　因為，所以t＞1時， 　　故在[1，＋∞]上單調遞增．從而，即 　　于是r(t)在[1，＋∞]上單調遞增． 　　故即這與②矛盾，假設不成立． 　　故C1在點M處的切線與C2在點N處切線不平行． 　　即不存在點R，使C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行．