Question

如圖，直角三角形的頂點坐標，直角頂點，頂點在軸上，點為線段的中點

（Ⅰ）求邊所在直線方程；
（Ⅱ）為直角三角形外接圓的圓心，求圓的方程；
（Ⅲ）若動圓過點且與圓內切，求動圓的圓心的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）．

解析試題分析：（Ⅰ）∵     1分
∴       3分
∴                    5分
（Ⅱ）在上式中，令得：    6分
∴圓心．       7分
又∵．     8分
∴外接圓的方程為    9分
（Ⅲ）∵
∵圓過點，∴是該圓的半徑，
又∵動圓與圓內切，
∴
即． 
∴點的軌跡是以為焦點，長軸長為3的橢圓．       11分
∴，．                     12分
∴軌跡方程為．
考點：本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓的定義及其標準方程。
點評：中檔題，本題解答思路明確，在確定軌跡方程過程中，利用了橢圓的定義。求軌跡方程的方法主要有：定義法，代入法，參數法等。本題較為容易。