Question

下列命題：①?x∈R，不等式x²+2x＞4x-3成立；②若log₂x+log_x2≥2，則x＞1；③命題“若a＞b＞0且c＜0，則

c

a

＞

c

b

”的逆否命題；④若命題p：?x∈R，x²+1≥1．命題q：?x₀∈R，x02-2x₀-1≤0，則命題p∧?q是真命題．其中真命題有

①②③

．

Answer 1

分析：根據實數的平方是大于或等于零的數，可得不等式x²+2x＞4x-3的等價不等式在實數范圍內恒成立，故①正確；根據基本不等式的適用條件，結合log₂x與log_x2互為倒數，是同號的兩個數，可得log₂x＞0，故②正確；對于③，根據逆否命題與原命題同真同假，直接判斷原命題的真假即可．然后利用不等式的基本性質，可以證出原命題為真命題，故③正確；對于④，可以分別證出命題p和命題q都是真命題，從而得到題p∧?q是假命題，故④不正確．由此得到正確答案．

解答：解：對于①，不等式x²+2x＞4x-3整理，得
原不等式等價于x²-2x+3＞0，
∵x²-2x+3=（x-1）²+2≥2＞0
∴原不等式恒成立，故①正確；
對于②，因為log₂x•log_x2=1，兩個數互為倒數，
所以log₂x與log_x2同號，當log₂x+log_x2≥2時，
可得log₂x與log_x2都為正數，
根據基本不等式，有log₂x+log_x2≥2

log2x•logx2

=2，
此時有log₂x＞0且log_x2＞0，
∴x＞1，故②正確；
對于③，命題“若a＞b＞0且c＜0，則

c

a

＞

c

b

”的逆否命題與原命題同真同假，
因此判斷原命題的真假性即可，
若a＞b＞0，兩邊都除以ab，得0＜

1

a

＜

1

b

…（*），
又因為c＜0，將（*）兩邊都乘以c，得0＞

c

a

＞

c

b

，
所以原命題是真命題，故③是真命題，正確；
對于④，∵x²≥0對任意的x∈R均成立，
∴命題p：“?x∈R，x²+1≥1”是真命題．
∵存在x₀=0，使得x02-2x₀-1=-1≤0
∴命題q：“?x₀∈R，x02-2x₀-1≤0”是真命題，
∴命題?q是假命題．
∵命題“p∧?q”當中有一個真命題，另一個是假命題
∴“p∧?q”是假命題，故④不正確．
綜上所述，真命題有三個：①②③，
故答案為：①②③

點評：本題借助于命題真假的判斷，著重考查了二次不等式恒成立、基本不等式和不等式等價變形等知識點，屬于中檔題．