Question

設a≥0，函數f(x)=a

1-x2

+

1+x

-

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設t=

1+x

-

1-x

，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）；
（3）試求滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數a．

Answer 1

分析：（1）由已知，t2=2-2

1-x2

∈[0，2]且定義域-1≤x≤1，易求得t的取值范圍，且m(t)=a(1-

1

2

t2)+t=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]
（2）g（a）即為函數m(t)=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．結合二次函數圖象與性質，分類討論的方法求解．
（3）將g(a)=g(

1

a

)化為具體方程，須利用分段函數的知識，分a，

1

a

的范圍進行分類討論．

解答：解：（1）t=

1+x

-

1-x

，
要使有t意義，必須1+x≥0，且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t2=2-2

1-x2

∈[0，2]①
∴t的取值范圍是[-

2

，

2

]．（2分）
由①得

1-x2

=1-

1

2

t2，
∴m(t)=a(1-

1

2

t2)+t=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]．（4分）
（2）由題意知g（a）即為函數m(t)=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．
注意到直線t=

1

a

是拋物線m(t)=-

1

2

at2+t+a的對稱軸，
分以下幾種情況討論．
1°當a＞0時，
①由0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

2

時，g(a)=m(

1

a

)=

1

2a

+a．（5分）
②由

1

a

≥

2

，即0＜a≤

2

2

時，m(t)=-

1

2

at2+t+a
在t∈[-

2

，

2

]單調遞增，g(a)=m(

2

)=

2

．（6分）
2°當a=0時，m（t）=t，t∈[-

2

，

2

]，
∴g(a)=m(

2

)=

2

．（7分）
綜上有g（a）=

1 2a +a，a＞ 2 2 2 ，0≤a≤ 2 2

（8分）
（3）分以下幾種情形討論：
情形①：當a＞

2

2

，且

1

a

＞

2

2

時，即

2

2

＜a＜

2

時，由g(a)=g(

1

a

)，
得

1

2a

+a=

a

2

+

1

a

，解得a=1．（9分）
情形②：當a＞

2

2

，且0＜

1

a

≤

2

2

時，即a≥

2

時，由g(a)=g(

1

a

)，
得

1

2a

+a=

2

，解得a=

2

2

（舍） （10分）
情形③：當0≤a≤

2

2

，且0＜

1

a

≤

2

2

時，即a∈φ時，g(a)=g(

1

a

)不成立．
情形④：當0≤a≤

2

2

，且

1

a

＞

2

2

時，即0≤a≤

2

2

時，由g(a)=g(

1

a

)，
得

a

2

+

1

a

=

2

，解得a=

2

（舍）
綜上有a=1，滿足g(a)=g(

1

a

)．（12分）

點評：本題考查二次函數的圖象、性質，考查分段函數值求解，方程求解，滲透了數形結合、分類討論的思想．在進行分類討論時要注意“不重復、不遺漏”，具體的說在（2）中，不要漏掉a=0情形，在（3）中要考慮a，

1

a

分別與0，

2

2

的大小關系．