Question

已知函數f(x)=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
（1）求f（x）的值域；
（2）設a≠0，函數g(x)=

1

3

ax3-a2x，x∈[0，2]．若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數等于求出x的值，然后由x的值，分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值和最小值即可得到f（x）的值域；
（2）設函數g（x）在[0，2]上的值域是A，根據題意對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0，得到區間[0，2]是A的子集，求出g（x）的導函數，分a小于0和a大于0兩種情況討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值和最小值，即可得到函數在相應區間的值域，根據區間[0，2]是A的子集判斷出符合這一條件的情況，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意a的取值范圍．

解答：解：（1）對函數f（x）求導，f′(x)=

4

3

•

1-x2

(x2+1)2

．
令f'（x）=0得x=1或x=-1．
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上單調遞減．
又f(0)=0，f(1)=

2

3

，f(2)=

8

15

，
所以當x∈[0，2]，f（x）的值域是[0，

2

3

]；
（2）設函數g（x）在[0，2]上的值域是A．
∵對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₀）=0，
∴[0，

2

3

]⊆A．
對函數g（x）求導，g'（x）=ax²-a²．
 ①當a＜0時，若x∈（0，2），g'（x）＜0，所以函數g（x）在（0，2）上單調遞減．
∵g(0)=0，g(2)=

8

3

a-2a2＜0，
∴當x∈[0，2]時，不滿足[0，

2

3

]⊆A；
 ②當a＞0時，g′(x)=a(x-

a

)(x+

a

)．
令g'（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍去）．
（i）當x∈[0，2]，0＜

a

＜2時，列表：

∵g(0)=0，g(

a

)＜0，
又∵[0，

2

3

]⊆A，∴g(2)=

8

3

a-2a2≥

2

3

，解得

1

3

≤a≤1．
（ii）當x∈（0，2），

a

≥2時，g'（x）＜0，∴函數在（0，2）上單調遞減，
∵g（0）=0，∴g(2)=

8

3

a-2a2＜0∴當x∈[0，2]時，不滿足[0，

2

3

]⊆A．
綜上，實數a的取值范圍是[

1

3

，1]．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的極值，靈活運用分類討論的數學思想，會利用導數求函數的值域，是一道綜合題．