Question

若點O和點F分別為橢圓

x2

2

+y2=1的中心和右焦點，點P為橢圓上的任意一點，則

OP

•

PF

的最大值為

-

1

2

．

Answer 1

分析：先求出左焦點坐標F，設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)P（x₀，y₀）在橢圓上可得到x₀、y₀的關(guān)系式，表示出向量

PF

、

OP

，根據(jù)數(shù)量積的運算將x₀、y₀的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進而可確定答案．

解答：解：由題意，F(xiàn)（1，0），設(shè)點P（x₀，y₀），則有

x02

2

+

y02

1

=1，解得y02=1-

x02

2

，
因為

PF

=(1-x0，-y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

PF

=x0(1-x0)-y02=x₀（1-x₀）-1+

x02

2

=-

x02

2

+x0-1，
此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為x₀=1，
因為-

2

≤x₀≤

2

，所以當x₀=1時，則

OP

•

PF

的最大值為 -

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合應(yīng)用能力、運算能力．