Question

若點O和點F分別為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則

OP

•

FP

的最大值為

6

．

Answer 1

分析：設P（x，y），由數量積運算及點P在橢圓上可把

OP

•

FP

表示為x的二次函數，根據二次函數性質可求其最大值．

解答：解：設P（x，y），
則

OP

•

FP

=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²，
又點P在橢圓上，故

x2

4

+

y2

3

=1，
所以x²+x+（3-

3

4

x2）=

1

4

x2+x+3=

1

4

(x+2)2+2，
又-2≤x≤2，
所以當x=2時，

1

4

(x+2)2+2取得最大值為6，即

OP

•

FP

的最大值為6，
故答案為：6．

點評：本題考查平面向量的數量積運算、橢圓的簡單性質，屬中檔題．