Question

已知：中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是（0，-

5

），離心率為

3

2

（1）求：橢圓方程；（2）若直線y=

1

2

x+m與橢圓相交于A、B兩點，橢圓的左右焦點分別是F₁和F₂，求：以F₁F₂和AB為對角線的四邊形F₁AF₂B面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設中心在原點，長軸在x軸上的橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由橢圓的一個頂點可求b，由離心率為e=

c

a

=

3

2

可得a，c的關系，結合a²=b²+c²，可求a，b，c進而可求橢圓的方程
（2）由（1）可得橢圓方程

x2

20

+

y2

5

=1，聯立方程

y= 1 2 x+m x2 20 + y2 5 =1

整理可得，2y²-2my+m²-5=0，由直線與橢圓相交于A、B兩點，可得△=4m²-8（m²-5）＞0，及y1+y2=m，y1y2=

m2-5

2

，而以F₁F₂和AB為對角線的四邊形F₁AF₂B面積S=

1

2

|F1F2||y1-y2|可求

解答：解：（1）設中心在原點，長軸在x軸上的橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的一個頂點是(0，-

5

)∴b=

5

∵離心率為e=

c

a

=

3

2

c=

3

2

a
∵a²=b²+c²，∴a²=20，b²=5
∴橢圓方程：

x2

20

+

y2

5

=1
（2）橢圓方程：

x2

20

+

y2

5

=1
∴左右焦點為F1(-

15

，0)，F2(

15

，0)，F1F2=2

15

聯立方程

y= 1 2 x+m x2 20 + y2 5 =1

整理可得，2y²-2my+m²-5=0
∵直線與橢圓相交于A、B兩點，∴△=4m²-8（m²-5）＞0，即：-

10

＜m＜

10

，且y1+y2=m，y1y2=

m2-5

2

由題知：以F₁F₂和AB為對角線的四邊形F₁AF₂B面積S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=2

15

(y1+y2)2-4y1y2

×

1

2

=

15

10-m2

≤5

6

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓的位置關系的應用，體現了方程的思想的應用，要注意弦長公式||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

的應用．