Question

已知：中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是（0，-），離心率為
（1）求：橢圓方程；（2）若直線y=x+m與橢圓相交于A、B兩點，橢圓的左右焦點分別是F₁和F₂，求：以F₁F₂和AB為對角線的四邊形F₁AF₂B面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設中心在原點，長軸在x軸上的橢圓方程：（a＞b＞0），由橢圓的一個頂點可求b，由離心率為可得a，c的關系，結合a²=b²+c²，可求a，b，c進而可求橢圓的方程
（2）由（1）可得橢圓方程，聯立方程整理可得，2y²-2my+m²-5=0，由直線與橢圓相交于A、B兩點，可得△=4m²-8（m²-5）＞0，及，而以F₁F₂和AB為對角線的四邊形F₁AF₂B面積可求
解答：解：（1）設中心在原點，長軸在x軸上的橢圓方程：（a＞b＞0）
∵橢圓的一個頂點是∴
∵離心率為
∵a²=b²+c²，∴a²=20，b²=5
∴橢圓方程：
（2）橢圓方程：
∴左右焦點為，，
聯立方程整理可得，2y²-2my+m²-5=0
∵直線與橢圓相交于A、B兩點，∴△=4m²-8（m²-5）＞0，即：，且
由題知：以F₁F₂和AB為對角線的四邊形F₁AF₂B面積=×=
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓的位置關系的應用，體現了方程的思想的應用，要注意弦長公式|的應用．