Question

已知橢圓中心在原點，長軸在x軸上，且橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，兩條準線間的距離為8．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+2與橢圓交于A，B兩點，當k為何值時，OA⊥OB（O為坐標原點）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，得到橢圓短軸的三分之一的值，由此列式可以得到橢圓的半短軸的長，結合a²=b²+c²可以得到a²的值，所以橢圓方程可求；
（II）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及向量垂直的充要條件，可構造關于k的方程，解方程求出答案．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由題意得：

1 3 ×2b× 3 2 =c 2• a2 c =8

，即

b= 3 c a2=4c

              …（3分）

又a²=b²+c²
∴c=1，b=

3

，a=2
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                          …（6分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程：

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

 化簡得：（3+4k²）x²+16kx+4=0

則x₁+x₂=

-16k

3+4k2

，x₁•x₂=

4

3+4k2

         …（8分）
∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4
∵OA⊥OB
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0              …（10分）
∴（1+k²）

4

3+4k2

+2k•

-16k

3+4k2

+4=0
解得：k²=

4

3

∴k=±

2 3

3

                  …（12分）
經檢驗滿足△＞0
∴當k=±

2 3

3

時，OA⊥OB．                …（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應用，雙曲線的簡單性質，聯(lián)立方程，設而不求，韋達定理，是解答此類問題的三架馬車．