Question

（2013•上海） 在xOy平面上，將兩個半圓�。▁-1）²+y²=1（x≥1）和（x-3）²+y²=1（x≥3），兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分，記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω．過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面積為4π

1-y2

+8π．試利用祖恒原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為

2π²+16π

．

Answer 1

分析：由題目給出的Ω的水平截面的面積，可猜想水平放置的圓柱和長方體的量，然后直接求出圓柱的體積與長方體的體積作和即可．

解答：解：因為幾何體為Ω的水平截面的截面積為4π

1-y2

+8π，該截面的截面積由兩部分組成，
一部分為定值8π，看作是截一個底面積為8π，高為2的長方體得到的，對于4π

1-y2

，看作是把一個半徑為1，
高為2π的圓柱平放得到的，如圖所示，

這兩個幾何體與Ω放在一起，根據祖恒原理，每個平行水平面的截面積相等，故它們的體積相等，
即Ω的體積為π•1²•2π+2•8π=2π²+16π．
故答案為2π²+16π．

點評：本題考查了簡單的合情推理，解答的關鍵是由幾何體Ω的水平截面面積想到水平放置的圓柱和長方體的有關量，是中檔題．