Question

（2013•上海）設常數(shù)a＞0，若9x+

a2

x

≥a+1對一切正實數(shù)x成立，則a的取值范圍為

[

1

5

，+∞）

．

Answer 1

分析：由題設數(shù)a＞0，若9x+

a2

x

≥a+1對一切正實數(shù)x成立可轉化為（9x+

a2

x

）_min≥a+1，利用基本不等式判斷出9x+

a2

x

≥6a，由此可得到關于a的不等式，解之即可得到所求的范圍

解答：解：常數(shù)a＞0，若9x+

a2

x

≥a+1對一切正實數(shù)x成立，故（9x+

a2

x

）_min≥a+1，
9x+

a2

x

≥6a
又9x+

a2

x

≥6a，當且僅當9x=

a2

x

，即x=

a

3

時，等號成立
故6a≥a+1，解得a≥

1

5

故答案為[

1

5

，+∞）

點評：本題考查函數(shù)的最值及利用基本不等式求最值，本題是基本不等式應用的一個很典型的例子