Question

某地區地理環境偏僻，嚴重制約經濟發展，影響了某種土特產品銷售．該地區政府每投資x萬元，所獲利潤為P=-

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8

x(x-80)萬元．為順應開發大西北的宏偉決策，該地區政府在制訂經濟發展十年規劃時，擬開發此種土特產品，而開發前后用于該項目投資的專項財政撥款每年都是60萬元．若開發該產品，必須在前5年中，每年從60萬元�？钪心贸�30萬元投資修通一條公路，且5年可以修通．公路修通后該土特產品銷售渠道拓寬，每投資x萬元，可獲利潤Q=-

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6

x(x-90)萬元．問從該土特產十年的投資總利潤（未用來投資的專項財政撥款視為利潤）來看，該項目有無開發價值？請詳細說明理由．

Answer 1

分析：由已知中每投入x萬元，可獲得利潤為P=-

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x(x-80)萬元，可知每年只須投入36萬，可獲得最大利潤220萬元，進而求出10年的總利潤W₁，又由前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，由在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q=-

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6

x(x-90)萬元，則我們可得前5年的本地銷售利潤和，及外地銷售利潤和，累加后與W₁相比較，即可判斷出該規劃方案是否可行．

解答：解：該項目有開發的價值．
（1）若不開發該產品：
因為政府每投資x萬元，所獲利潤為P=-

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x(x-80)（0≤x≤60）萬元，
投資結余60-x萬元，故可設每年的總利潤為f(x)=-

1

8

x(x-80)+60-x=-

1

8

x2+9x+60=-

1

8

(x-36)2+222（0≤x≤60），
∴當x=36時，f（x）_max=f（36）=222萬元，
故十年總利潤為2220萬元．
（2）若開發該產品
前五年每年所獲最大利潤為P(30)=

375

2

萬元，
后五年可設每年總利潤為g(x)=-

1

6

x(x-90)+60-x=-

1

6

x2+14x+60，（0≤x≤60）
∴當x=42時，g（x）_max=g（42）=354萬元
故十年總利潤為

375

2

×5+354×5=

5415

2

＞2220
所以從該土特產十年的投資總利潤來看，該項目具有開發價值．

點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數類型，其中將該規劃方案是否可行轉化為兩種投資方式的利潤之比，進而轉化為函數最值的比較，正確尋找到函數關系是解答本題的關鍵．屬于中檔題．