Question

西部某地區地理環境偏僻，嚴重制約著經濟發展，某種土特產品只能在本地銷售.該地區政府每投資x萬元，所獲得利潤為P=-·(x-40)²+10萬元.為了順應開發大西北的宏偉決策，該地區政府在在制訂經濟發展十年規劃時，擬開發此種土特產品，而開發前后用于該項目投資的專項財政撥款每年都是60萬元.若開發該產品，必須在前5年中，每年從60萬元專款中拿出30萬元投資修通一條公路，且5年可以修通.公路修通后該土特產品在異地銷售，每投資x萬元，可獲得利潤Q=-（60-x）²+(60-x)萬元.問從10年的總利潤來看，該項目有無開發價值？

Answer 1

解析：若按原來投資環境不變，由題設知每年只需從60萬元專款中拿出40萬元投資，可獲得最大利潤10萬元，這樣10年總利潤最大值為W=10×10=100萬元.

若對該產品開發，則前5年中，當x=30時，得P_max=，前5年的總利潤W₁=萬元；設后5年中，x萬元用于本地銷售投資，（60-x）萬元用于異地銷售投資，則總利潤

W₂=［-（x-40）²+10］×5+［-x²+x］×5=-5(x-30)²+4 500.

所以，10年總利潤最大值為+4 500(萬元)，因+4 500＞100,故該項目具有極大的開發價值.