Question

如圖，在高為4的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，則直線AB₁與DA₁所成角的余弦值是（　　）

• A、-

  2

  5

• B、

  2

  5

• C、

  4

  5

• D、

  10

  10

Answer 1

分析：連接B₁C，AC，由正方體的幾何特征，可得∠AB₁C即為直線AB₁與DA₁所成角，根據已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為4，底面ABCD是邊長為2的正方形，求出△AB₁C中各邊的長，解△AB₁C即可得到直線AB₁與DA₁所成角的余弦值．

解答：解：連接B₁C，AC
由正方體的幾何特征，可得AB₁∥B₁C
則∠AB₁C即為直線AB₁與DA₁所成角
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為4，底面ABCD是邊長為2的正方形，
則AB₁=B₁C=2

5

，AC=2

2

∴cos∠AB₁C=

20+20-8

2•20

=

4

5

故選C

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中結合正方體的幾何特征得到∠AB₁C即為直線AB₁與DA₁所成角，是解答本題的關鍵．