Question

如圖，在面積為4的正方形ABCD中，連接各邊中點(diǎn)得正方形A₁B₁C₁D₁，此時(shí)正方形A₁B₁C₁D₁的面積記作a₁；再連接正方形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)得正方形A₂B₂C₂D₂，此時(shí)正方形A₂B₂C₂D₂的面積記作a₂；…；如此繼續(xù)下去，得到一個(gè)數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=n•2ⁿ+1，c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，從第2個(gè)正方形A₁B₁C₁D₁起，每一個(gè)正方形的面積均為上一個(gè)正方形面積的

1

2

，從而{a_n}構(gòu)成等比數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式可求得a_n；
（Ⅱ）易求c_n，分組求和即可，其中一個(gè)為等差數(shù)列求和，另一個(gè)為等比數(shù)列求和；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閺牡?個(gè)正方形A₁B₁C₁D₁起，每一個(gè)正方形的面積均為上一個(gè)正方形面積的

1

2

，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
故a_n=2×（

1

2

）^n-1=（

1

2

）^n-2；
（Ⅱ）∵b_n=n•2ⁿ+1，a_n=（

1

2

）^n-2；
∴c_n=a_nb_n=（

1

2

）^n-2（n•2ⁿ+1）=4n+（

1

2

）^n-2，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=[4×1+（

1

2

）^-1]+[4×2+（

1

2

）⁰]+…+[4n+（

1

2

）^n-2]
=4（1+2+…+n）+[（

1

2

）^-1+（

1

2

）⁰+…+（

1

2

）^n-2]
=2n（n+1）+

( 1 2 )-1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2n（n+1）+4-（

1

2

）^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，熟記相關(guān)公式是解決問題的基礎(chǔ)．