Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經過點P（1，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為圓心，MF為半徑作圓M．問點M滿足什么條件時，圓M與y軸有兩個交點？
（3）設圓M與y軸交于D、E兩點，求點D、E距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率和經過點P建立關于a，b的方程組，解之即可求出橢圓的標準方程；
（2）設M（x₀，y₀），則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，求出圓M的方程，令x=0，化簡得到關于y的方程，然后利用判別式△＞0，可求出x₀的范圍．
（3）設D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得DE=y₂-y₁轉化成關于x₀的二次函數求最值進行求解即可．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經過點P（1，

3

2

），
∴

a2-b2 a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1

，即

3a2-4b2=0 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）易求得F（1，0）．設M（x₀，y₀），則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，-2≤x₀≤2
圓M的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=（1-x₀）²+y₀²，
令x=0，化簡得y²-2y₀y+2x₀-1=0，△=4y₀²-4（2x₀-1）＞0①．
將y₀²=3（1-

x 2 0

4

）代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出-4＜x₀＜

4

3

．
∴-2≤x₀＜

4

3

．
（3）設D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得
DE=y₂-y₁=

4y 2 0 -4(2x0-1)

=

-3 x 2 0 -8x0+16

=

-3(x0+ 4 3 ) 2+ 64 3

，
當x₀=-

4

3

時，DE的最大值為

8 3

3

．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系和線段的最值問題，是一道綜合題，有一定的難度．